「様」はジョークでしょうが「ちゃん」や「君」付けも正直あまり理解できないですね。コメントでは「他人の子を呼び捨てにするのか」という意見がありますが、ペットはペットであって人ではありません。敬称は尊敬の念を込めて人に用いられるものであって飼い主とペットの関係を無関係の第三者に当て嵌めるのはどうかと思いますね。

ペットを名前のまま呼ぶことが当たり前の人も多いですし、どうして呼んで欲しい方は最初にちゃん付けで呼んでねって言えばいいと思いますね。どちらにしろペットからすればいつも呼ばれている名前の方が反応しやすいでしょうからね。